Relations Linéaires entre Solutions d’une Equation Différentielle.

E. Compoint ^{∗} , M.F. Singer ^{†}

Décembre 1996

1 Introduction

Soit k un corps différentiel de caractéristique nulle, dont le corps des constantes, C, est supposé algébriquement clos, et soit L un opérateur différentiel linéaire à coefficients dans k. Dans [1], le premier auteur a montré que si L est irréductible sur k, alors toute famille de solutions de L(y) = 0 lineairement indépendante sur C, reste linéairement indépendante sur k. Dans la seconde partie de cet article nous caractérisons les équations différentielles L(y) = 0 admettant pour système fondamental de solutions des éléments linéairement dépendants sur k. Nous donnons dans la troisième partie un algorithme qui permet de décider, pour certains corps différentiels k, s’il existe des relations de dépendance linéaire à coefficients dans k entre les éléments d’une base de solutions d’une équation différentielle linéaire donnée à coefficients dans k. De plus, si l’opérateur est complètement réductible, nous donnons un algorithme permettant de déterminer toutes les relations de dépendance linéaire à coefficients dans k de ce type. Pour tout entier N fixé, nous montrons alors comment utiliser cet algorithme pour déterminer toutes les relations polynomiales de degré au plus N (à coefficients dans k) entre les éléments d’une base de solutions d’une équation différentielle linéaire complètement réductible.

Nous supposons que le lecteur connait les bases de la Théorie de Picard-Vessiot des équations différentielles linéaires (voir [5]).

∗Université de Paris VI, Mathématiques, T. 46, Case 247, 4, Place Jussieu, 75 230 Paris Cédex 05. E-mail:

compoint@riemann.math.jussieu.fr

†North Carolina State University, Department of Mathematics, Box 8205, Raleigh, NC 27695-8205. Email: singer@math.ncsu.edu. The preparation was partially supported by NSF Grant CCR-93222422

2 Relations Linéaires

Avant d’énoncer le principal résultat de cette partie, nous adoptons les notations suivantes. Soit L_{1} un opérateur différentiel d’ordre r à coefficients dans le corps différentiel k et soit ν = (ν_{0}, …, ν_{r−1}) ∈ k^{r}. On désigne par L_{1}^{ν} l’unique opérateur unitaire à coefficients dans k dont l’espace des solutions est {ν_{0}z + ν_{1}z′ + … + ν_{r−1}z^{(r−1)} | z est solution de L(z) = 0}. On peut montrer que si L_{1} est irréductible sur k et si ν ≠ (0, …, 0), alors L_{1}^{ν} est d’ordre r et est également irréductible. De plus, si K est une extension de Picard-Vessiot de k contenant les solutions des équations L_{1}y = 0 et L_{1}^{ν}y = 0, alors les espaces de solutions de ces deux opérateurs sont des Gal(K/k)-modules isomorphes, où Gal(K/k) désigne le groupe de Galois différentiel de l’extension K/k. Le corollaire 2.6 de [7] prouve que la réciproque est vraie également: si K est une extension de Picard-Vessiot de k contenant les solutions de L_{1}y = 0 et L_{2}y = 0 et si ϕ est un Gal(K/k)-isomorphisme de l’espace des solutions de L_{1}(y) = 0 sur l’espace des solutions de L_{2}(y) = 0, alors il existe ν = (ν_{0}, …, ν_{r−1}) ∈ k^{r} tel que ϕ(y) = ∑_{i=0}^{r−1} ν_{i}y^{(i)}, c’est à dire, L_{2} = L_{1}^{ν}. Le principal résultat de cet article est:

Theorem 2.1 Soit k un corps différentiel de caractéristique nulle dont le corps des constantes C est algébriquement clos, et soit L(y) = 0 une équation différentielle linéaire d’ordre n à coefficients dans k. Il existe des solutions de L(y) = 0, lineairement indépendantes sur C et linéairement dépendantes sur k si, et seulement si, il existe un opérateur irréductible, L_{1}, d’ordre r < n et des vecteurs ν_{1}, …, ν_{s} de k^{r} tels que

1. chacun des opérateurs L_{1}^{ν1}, …, L_{1}^{νs} divise L à droite, et

2. les vecteurs ν_{1}, …, ν_{s} sont linéairement indépendants sur C mais linéairement dépendants sur k.

Une version plus faible de ce résultat se trouve dans [2]. La preuve du Théorème 2.1 repose sur les trois lemmes suivants. Dans le premier de ces lemmes (essentiellement le Lemme de Goursat (voir [6] p. 54)), “anneau” signifie anneau unitaire et “module”, module à gauche.

Lemma 2.2 Soient R un anneau et M = M_{1} ⊕ … ⊕ M_{t} un R-module complètement réductible, où les M_{i} sont des R-modules irréductibles. Soit N un sous module irréductible non nul de M. Alors il existe un ensemble d’indices I = {i_{1}, …, i_{s}} et des R-isomorphismes ϕ_{j} : M_{i_{1}} → M_{i_{j}}, j = 2, …, s tels que

N = {(m, ϕ_{2}(m), …, ϕ_{s}(m)) | m ∈ M_{i_{1}}}

Démonstration: Soit π_{i} la projection de M sur son i^{èm} facteur. D’après le Lemme de Schur, pour chaque i, la restriction de π_{i} à N est soit l’application nulle, soit un isomorphisme de N sur M_{i}. Soit I = {i_{1}, …, i_{s}} l’ensemble des indices pour lesquels la i^{ème} projection se restreint en un isomorphisme. Puisque N est non nul, I est non vide. Les applications ϕ_{j} = π_{i_{j}} ∘ π_{i_{1}}^{−1} satisfont alors la conclusion du lemme.

Lemma 2.3 Soient C un corps algébriquement clos, G un groupe linéaire défini sur C et k un corps contenant C. Soient V_{1} et V_{2} des G-modules de dimension finie sur C. Alors

1. V_{1} est un G-module irréductible si et seulement si V_{1} ⊗ k est un G-module irréductible (où l’action de G sur k est triviale).

2. En tant que G-modules, V_{1} est isomorphe à V_{2} sur C si et seulement si V_{1} ⊗ k est isomorphe à V_{2} ⊗ k sur k. De plus, si V_{1} et V_{2} sont irréductibles et si ϕ̃ : V_{1} ⊗ k → V_{2} ⊗ k est un G-isomorphisme, alors il existe un élément f ∈ k et un isomorphisme ϕ : V_{1} → V_{2} tels que ϕ̃(v ⊗ κ) = ϕ(v) ⊗ fκ, pour tous v ∈ V_{1} et κ ∈ k.

Démonstration: 1. (voir [1], Lemme 3) Supposons que V_{1} soit un G-module irréductible. Le Théorème de Burnside ([6], p. 628) implique alors que les éléments de G ⊂ End_{C}(V_{1}) engendrent toute l’algèbre End_{C}(V_{1}). Donc les éléments de G ⊂ End_{k}(V_{1} ⊗_{C} k) = End_{C}(V_{1}) ⊗_{C} k engendrent toute l’algèbre End_{k}(V_{1} ⊗_{C} k), et par conséquent la représentation V_{1} ⊗_{C} k de G est irréductible. L’autre implication est évidente.

2. Soient ρ_{1}(G) ⊂ GL(V_{1}) et ρ_{2}(G) ⊂ GL(V_{2}) deux représentations matricielles de G (définies sur C). Si V_{1} ⊗k est isomorphe à V_{2} ⊗k sur k alors il existe une matrice A ∈ GL_{n}(k) telle que Aρ_{1}(g)A^{−1} = ρ_{2}(g) pour tout g ∈ G(C). Puisque ρ_{1}(G) et ρ_{2}(G) sont définies sur C, le Nullstellensatz de Hilbert implique qu’il existe une matrice A′ ∈ GL_{n}(C) telle que A′ρ_{1}(g)A^{′−1} = ρ_{2}(g) pour tout g ∈ G, et V_{1} et V_{2} sont donc des G-modules isomorphes. Soit B = A · (A′)^{−1}. Pour tout g ∈ G(C), on a Bρ_{2}(g)B^{−1} = ρ_{2}(g). Si B n’est pas de la forme f ·I, avec f ∈ k, alors il devrait exister une matrice B′ ∈ GL_{n}(C) qui ne soit pas du type c·I (c ∈ C) et telle que B′ρ_{2}(g)B^{′−1} = ρ_{2}(g) pour tout g ∈ G(C). Si ρ_{2} est une représentation irréductible, ceci contredit le Lemme de Schur. Sous cette hypothèse, il existe donc f ∈ k tel que A = f · A′. L’autre implication est claire.

On désigne par D = k[D] l’anneau des opérateurs différentiels linéaires à coefficients dans k. Dans le lemme suivant, un opérateur L′ ∈ D est dit opérateur minimal d’un élément z si L′ est l’opérateur unitaire de D de plus bas degré tel que L′(z) = 0.

Lemma 2.4 Soient k un corps différentiel de caractéristique nulle dont le corps des constantes C est algébriquement clos, et L un opérateur à coefficients dans k. S’il existe des solutions de Ly = 0, lineairement indépendantes sur C et linéairement dépendantes sur k, alors il existe des solutions de Ly = 0, lineairement indépendantes sur C et linéairement dépendantes sur k dont les opérateurs minimaux sont irréductibles.

Démonstration: Soit V l’espace des solutions de Ly = 0 dans une extension convenable

de k. Soit ∑_{i=1}^{r} f_{i} ⊗ y_{i} ∈ k ⊗ V un tenseur non nul tel que ∑_{i=1}^{r} f_{i}y_{i} = 0, et supposons r

minimal pour de tels tenseurs. Soit t le nombre des éléments y_{i} dont l’opérateur minimal est NON irréductible. On procède par réccurence sur t. Supposons par exemple que l’opérateur minimal de y_{1} ne soit pas irréductible. Alors l’espace vectoriel engendré par l’orbite de y_{1} sous G contient un élément non nul, disons w_{1}, dont l’opérateur minimal est irréductible. Il existe donc un élément ϕ appartenant à l’algèbre de groupe C[G] de G tel que w_{1} = ϕ(y_{1}) ≠ 0.

Posons w_{i} = ϕ(y_{i}). On a ∑_{i=1}^{r} f_{i}w_{i} = 0 et comme w_{1} ≠ 0 et r est minimal, alors chacun des w_{i}

est non nul. De plus, si y_{i} vérifie L′(y_{i}) = 0, alors on a aussi L′(w_{i}) = 0, et par conséquent, si l’opérateur minimal de y_{i} est irréductible, alors l’opérateur minimal de w_{i} l’est également. On obtient ainsi une relation de dépendance linéaire où le nombre t a chuté, et on peut conclure par récurrence.

On donne à présent la

Démonstration du Théorème 2.1: Supposons tout dabord qu’il existe L_{1} et ν_{i} = (ν_{i,0}, ν_{i,1}, …, ν_{i,r−1}) vérifiant les conditions du Théorème. Soit y une solution non nulle de L_{1}(y) = 0. Comme L_{1} est irréductible, y ne peut être solution d’une équation différentielle

(linéaire) d’ordre strictement inférieur à r. Pour i ∈ {1, ⋯, s}, on pose z_{i} = ∑_{j=0}^{r−1} ν_{i,j}y^{(j)}. Les

éléments z_{1}, ⋯, z_{s} sont donc linéairement indépendants sur C, mais linéairement dépendants sur k. Par hypothèse L_{1}^{νi}(z_{i}) = 0 et L_{1}^{νi} divise L à droite, ce qui prouve un des deux sens de l’équivalence.

On suppose à présent que l’équation L(y) = 0 admet des solutions linéairement indépendantes sur C et linéairement dépendantes sur k. Soit M le plus petit commun multiple à gauche de TOUS les opérateurs irréductibles divisant L à droite (voir [7]). Alors l’opérateur complètement réductible M divise L à droite et l’équation My = 0 admet des solutions linéairement dépendantes sur C et linéairement indépendantes sur k d’après le Lemme 2.4. On peut donc supposer, sans perte de généralité, que l’opérateur L est complètement réductible. Soit K l’extension de Picard-Vessiot de k associée à L, et soient V l’espace des solutions de L(y) = 0 dans K et G le groupe de Galois différentiel de K sur k. Puisque L est complètement réductible, le G-module V peut s’écrire V = V_{1} ⊕ … ⊕ V_{t}, où les V_{i} sont des G-modules irréductibles. D’après le Lemme 2.3, V ⊗ k ≃ V_{1} ⊗ k ⊕ … ⊕ V_{t} ⊗ k, où chaque V_{i} ⊗ k est un G− module irréductible. Par hypothèse, le noyau de l’application m : V ⊗ k → K définie par m(v ⊗ κ) = κv, est non trivial. Soit N un k[G]-sous-module irréductible de ce noyau. Le Lemme 2.2 implique qu’il existe (après une éventuelle renumérotation) un entier s inférieur à t et des G-isomorphismes ϕ̃_{j} : V_{1} ⊗ k → V_{j} ⊗ k tels que

N = {(m, ϕ̃_{2}(m), …, ϕ̃_{s}(m)) | m ∈ V_{1} ⊗ k}

De plus, d’après le Lemme 2.3 pour chaque ϕ̃_{i} il existe ν_{i} = (ν_{i,0}, …, ν_{i,r−1}) ∈ k^{r} et f_{i} ∈ k

tels que ϕ̃_{i}(v ⊗1) = (∑_{j=0}^{r−1} ν_{i,j}v^{(j−1)})⊗f_{i}. Notons L_{1} l’opérateur irréductible et unitaire de k[D]

dont V_{1} est l’espace des solutions. Pour 1 ≤ i ≤ s, chacun des espaces V_{i} est alors l’espace des solutions de L_{1}^{νi}, et chacun des opérateurs L_{1}, L_{1}^{ν2}, …, L_{1}^{νs} divise L à droite. Vérifions que la propriété 2. est satisfaite par ce choix des ν_{i} (avec ν_{1} = (1, 0, …, 0)). Pour cela

supposons qu’il existe des constantes c_{1}, ⋯, c_{s} non toutes nulles et telles que ∑_{i=1}^{r} c_{i}ν_{i} = 0.

Pour simplifier la notation on suppose que c_{1} est non nul et égal à 1. Soit v un vecteur

non nul de V_{1}. On a alors v = − ∑_{i=2}^{s} c_{i}(∑_{j=0}^{r−1} ν_{i,j}v^{(j)}) ce qui contredit le fait que la somme

V_{1} ⊕ … ⊕ V_{s} est directe, et prouve que les vecteurs ν_{1}, ⋯, ν_{s} sont linéairement indépendants sur C. Puisque N est dans le noyau de l’application m, on a

0 = ∑_{i=1}^{s} ∑_{j=0}^{r−1} f_{i}ν_{i,j}v^{(j)}

= ∑_{j=0}^{r−1}(∑_{i=1}^{s} f_{i}ν_{i,j})v^{(j)}

Comme L_{1} est irréductible, v ne peut vérifier d’équation différentielle linéaire d’ordre inférieur

à r et par conséquent chacune des sommes ∑_{i=1}^{s} f_{i}ν_{i,j} est nulle. Donc ∑_{i=1}^{s} f_{i}ν_{i} = 0 et la propriété

2. est satisfaite.

Example 2.5 L’exemple suivant^{1} illustre le Théorème 2.1. Soient f et g deux éléments non constants de C(x) et tels que le groupe de Galois de l’équation différentielle L_{1}(y) = y′′ +fy′ +gy = 0 soit GL(2, C). Soit {y_{1}, y_{2}} une base de l’espace des solutions de L_{1}(y) = 0. Ces hypothèses impliquent alors que la famille {y_{1}, y_{2}, y′_{1}, y′_{2}, y′′_{1}, y′′_{2}} est constituée d’éléments linéairement indépendants sur C. De plus cette famille engendre un espace vectoriel qui est stable sous l’action du groupe de Galois. Cette famille est donc une base de solutions d’un opérateur L d’ordre 6 à coefficients dans C(x). D’autre part, les éléments de cette famille sont clairement dépendants sur C(x) puisque y′′_{i} + fy′_{i} + gy_{i} = 0 (i = 1 ou 2). Posons ν_{1} = (1, 0), ν_{2} = (0, 1) et ν_{3} = (g, f), alors L_{1}^{ν_{i}} divise L à droite, pour i = 1, 2, 3. Et, puisque f et g ne sont pas des constantes, ν_{1}, ν_{2} et ν_{3} sont linéairement indépendants sur C, et, bien entendu, dépendants sur k. En fait, le Théorème 2.1 affirme que tous les exemples sont essentiellement de ce type.

3 Calcul des Relations Linéaires

Grâce au Théorème 2.1 nous allons pouvoir décider si une équation différentielle linéaire L(y) = 0 admet des solutions linéairement indépendantes sur C mais linéairement dépendantes sur k. Pour cela nous rappelons dabord que si L et L_{1} sont des éléments de D, alors l’ensemble des vecteurs ν = (ν_{0}, …, ν_{r−1}) de k^{r} terls que L_{1}^{ν} divise L à droite, s’identifie au C-espace

vectoriel E(L, L_{1}) des opérateurs N = ∑_{i=0}^{r−1} ν_{i}D^{i}, pour lesquels il existe un élément S de D

vérifiant LN = SL_{1} (voir [7], pp. 81-84). De plus, E(L, L_{1}) est exactement l’ensemble des solutions ν ∈ k^{r} d’un système différentiel linéaire A_{L,L_{1}}ν = 0, où la matrice A_{L,L_{1}} est une matrice r × r à coefficients dans l’anneau D = k[D] des opérateurs différentiels linéaires à coefficients dans k. Par “ éliminations de Gauss” (i.e., des opérations sur les lignes et les colomnes) on peut convertir ce système en un système diagonal, et ramener ainsi la recherche de solutions ν ∈ k^{r} de A_{L,L_{1}}ν = 0, à la recherche de solutions (dans k^{r}) d’un système diagonal. Ce fait sera utilisé dans la proposition suivante.

1Cet exemple apparait dans [1] et a été suggéré par F. Beukers ..

Proposition 3.1 Soit k un corps différentiel de caractéristique nulle dont le corps des constantes est algébriquement clos et tel que

1. pour tout opérateur L ∈ D on puisse effectivement trouver une base de toutes les solutions dans k de L(y) = 0,

2. on puisse effectivement factoriser tout opérateur L ∈ D,

3. on puisse effectivement décider si une famille de vecteurs de k^{r} est linéairement dépendante sur k.

Alors, pour tout opérateur L ∈ D, on peut effectivement décider si l’équation L(y) = 0 admet une base de solutions dont les éléments sont linéairement dépendants sur k.

Démonstration: Soit L ∈ k[D] et soit K l’extension de Picard-Vessiot de k associée. Soit L = L_{1}L_{2} ⋯ L_{t} une factorisation de L en facteurs irréductibles. Tout opérateur irréductible et divisant L à droite est alors équivalent à l’un des L_{i}. Pour chaque i, on détermine une Cbase de E(L, L_{i}) et on détermine si les éléments de cette base sont k-linéairement dépendants. Si c’est le cas, le Théorème 2.1 implique que L(y) = 0 admet une base de solutions lineairement dépendants sur k. Si ce n’est pas le cas pour chaque L_{i}, le Théorème 2.1 implique que toute base de solutions de L(y) = 0 est constituée d’éléments linéairement indépendants sur k.

Pour un opérateur complètement réductible L, on peut améliorer le résultat précédent, et déterminer toutes les relations de dépendance linéaire sur k vérifiées par les éléments d’une base de solutions de Ly = 0. Dans la proposition suivante, on dit que la base {y_{1}, …, y_{n}} de l’espace des solutions de Ly = 0 est normalisée au point p si y_{i}^{(j)}(p) = δ_{i−1,j} pour i = 1, …, n et j = 0, …, n − 1 (avec δ_{i,j} = 1 si i = j, et 0 sinon).

Proposition 3.2 Soit k un corps différentiel satisfaisant les hypothèses de la Proposition 3.1. Supposons de plus que

1. k est un corps de fonctions méromorphes dans un domaine G ⊂ C,

2. k admet pour corps des constantes un corps algébriquement clos calculable C ⊂ C,

3. pour tout élément f ∈ k, tout point p ∈ C ∩ G et tout entier n, on peut effectivement calculer les n premiers termes du developpement en série de f en p.

Soit L un opérateur complètement réductible de D. On peut effectivement déterminer un ensemble fini S ⊂ C ∩ G tel que pour tout point p ∈ C ∩ G, p ∉ S, et pour toute base {y_{1}, ⋯, y_{n}} normalisée en p de l’espace des solutions de Ly = 0, on peut effectivement déterminer une k-base de l’ensemble des éléments (f_{1}, …, f_{n}) ∈ k^{n} tels que ∑ f_{i}y_{i} = 0.

Remarquons que si C ⊂ C est un corps algébriquement clos calculable, les corps C(x) et C(x, e^{x}) sont des exemples de corps vérifiant les hypothèses de la Proposition 3.2.

Démonstration: Puisque L est complètement réductible, l’espace des solutions V de Ly = 0 est un G-module complètement réductible, où G est le groupe de Galois différentiel associé. D’après le Lemme 2.3, V ⊗ k est également un G-module complètement réductible, ainsi que le noyau W de l’application m : V ⊗ k ↦ K. Ce noyau est donc somme directe de modules de type décrit au Lemme 2.2. Factorisons L = L_{1}L_{2} ⋯ L_{m} en facteurs irréductibles. On peut déterminer ceux des L_{i} qui sont équivalents, et pour chaque classe d’équivalence on choisit un représentant. On désigne par R = {L_{1}, …, L_{q}} un système de représentants. Pour chaque M ∈ R, on détermine une C-base B = {ν_{1}, …, ν_{t}} de E(L, M) et une k-base F de l’ensemble des vecteurs f = (f_{1}, …, f_{t}) tels que ∑_{i=1}^{t} f_{i}ν_{i} = 0. Soit y_{1}, …, y_{r} une base de l’espace des solutions de My = 0 et soit \overline{y}_{i} le r-uplet défini par \overline{y}_{i} = (y_{i}, y′_{i}, …, y_{i}^{(r−1)}) où r est l’ordre de M. Alors

1. Les éléments de B_{M} = \{(ν_{i}·\overline{y}_{j})\} sont des solutions de Ly = 0 linéairement indépendantes sur C, et B = ∪_{M}B_{M} est une base de cet espace de solutions.

2. Pour tout j ∈ \{1, ⋯, r\}, on a ∑_{i=1}^{t} f_{i}(ν_{i} · \overline{y}_{j}) = 0

et toute relation k-linéaire entre les éléments de B est une combinaison k-linéaire des

relations du type ∑_{i=1}^{t} f_{i}(ν_{i} · \overline{y}_{j}) = 0.

Soit n l’ordre de L. Pour tout point p qui n’est ni pole d’un ν, ni point singulier de M ∈ R ou de L, on peut calculer les séries de Taylor à l’ordre de n de chacune des solutions ν_{i} ·\overline{y}_{j} de Ly = 0. Par comparaison des conditions initiales en p, on peut exprimer les solutions ν_{i} · \overline{y}_{j} en fonction des éléments de la base normalisée en p (de l’espace des solutions de Ly = 0) et donc obtenir une base des relations k-linéaires vérifiées par les éléments de cette base.

La Proposition 3.2 va nous permettre de calculer, pour des corps différentiels convenables et pour tout entier naturel N, l’ensemble des relations algébriques, à coefficients dans k et de degré inférieur à N, satisfaites par les solutions d’un opérateur linéaire complètement réductible. Soit L un tel opérateur, et soit L^{◯ s m} l’opérateur unitaire dont l’espace des solutions est engendré par tous les monômes de degré m en les solutions de L(y) = 0 (par convention, on définit L^{◯ s 0} = D; voir [8] pour davantage de précisions sur ces opérateurs). Soit L_{N} le plus petit commun multiple à gauche de la famille d’opérateurs {L^{◯ s m}}_{m=0}^{N} et soit M l’ordre de L_{N}. Soit S l’ensemble défini par la Proposition 3.2 appliqué à L_{N} et soit p un point ordinaire pour L et L_{N} et n’appartenant pas à l’ensemble S. Considérons alors la base {y_{i}} de l’espace des solutions de Ly = 0, normalisée en p, et désignons par {M_{j}} l’ensemble de tous les monômes de degré au plus N en les y_{i}. Puisque l’on peut calculer le développement en série de chaque solution y_{i} à un ordre arbitraire, on peut déterminer le M-jet de chaque monôme M_{j}. L’ensemble L_{1} des relations C-linéaires entre ces M-jets est alors exactement l’ensemble des relations C-linéaires entre les solutions {M_{j}} de L_{N}y = 0. Soit B_{1} une C-base de L_{1}. On désigne par {z_{j}} la base de l’espace des solutions de L_{N}y = 0 normalisée en p. Grâce à la Proposition 3.2, on peut déterminer une base B′_{2} de toutes les relations k-lineaires vérifiées par les {z_{j}}. En exprimant les M_{j} en fonction des {z_{j}}, on peut alors convertir B′_{2} en un ensemble B_{2} de relations k-linéaires liant certains des M_{j}. La réunion de B_{1} et de B_{2} fournit une base de l’ensemble de toutes les relations algébriques, à coefficients dans k et de degré inférieur à N, vérifiées par les {y_{i}}.

On remarquera que pour un opérateur complètement réductible, le premier auteur a montré que l’on peut convertir une base de l’anneau des invariants de Gal(L), agissant sur l’anneau des polynômes en n^{2} indéterminées k[Y_{i,j}], en une base B de l’idéal de toutes les relations algébriques (à coefficients dans k) satisfaites par les éléments {y_{i}^{(j)}}_{i=1,...,n}^{j=0,...,n−1}. [3] montre comment calculer les invariants d’un degré fixé. Si l’on connaissait à priori une borne sur le degré des éléments de B (ou, de façon équivalente, sur le degré des éléments d’une base des invariants de Gal(L)), on aurait alors une méthode pour déterminer la base B de l’idéal des relations algébriques satisfaites par les éléments d’une matrice fondamentale de solutions de Ly = 0.

References

[1] E. Compoint, Généralisation d’un Théorème de Fano et Singer, C.R.A.S., t. 318, Série I, p. 885-887, 1994.

[2] E. Compoint, Équations Différentielles, Relations Algébriques et Invariants, thése de Doctorat de l’Université Paris VI, 1996.

[3] M. van Hoeij and J-A Weil, An Algorithm for Computing Invariants of Differential Galois Groups, to appear in the Proceedings of MEGA-96.

[4] J. E. Humphreys, Linear Algebraic Groups, Springer-Verlag, New York, 1981.

[5] I. Kaplansky, An Introduction to Differential Algebra, Second Edition, Hermann, Paris, 1976.

[6] S. Lang, Algebra, Second Edition, Addison-Wesley, Menlo Park, 1984.

[7] M.F. Singer, Testing Reducibility of Linear Differential Operators: A Group Theoretic Perspective, Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing, 7, p. 77-106, 1996.

[8] M.F. Singer and F. Ulmer, Galois Groups of Second and Third Order Linear Differential Equations, J. Symb. Comp., 16 No. 1, p. 1-36, 1993